1. Définition d'un MRU:
Le MRU, qui signifie Mouvement Rectiligne Uniforme, est un mouvement de vitesse constante qui se déplace en ligne droite sur un seul axe (sur une droite).
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2. Point de départ et point de référence:
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Il est important de bien discerner le point de départ et le point de référence qui sont deux choses bien différentes l’une de l’autre.
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Puisque c’est un mouvement rectiligne, nous pouvons représenter notre mouvement sur un axe.
Voici le schéma du mouvement de l'exemple no.1 lorsque l’on positionne le point de référence au début du mouvement (au même endroit que le point de départ):
Voici le schéma du mouvement de l'exemple no.1 lorsque l’on positionne le point de référence à la fin du mouvement (lorsque le mobile s’arrête):
Dans notre cas, le mobile se dirige vers la droite, les valeurs positives sont donc à droite du point de référence et les valeurs négatives à gauche.
Il aurait aussi été possible de positionner notre point de référence au milieu du mouvement. Dans ce cas, quel aurait été le signe de mes valeurs?
3. La prise de données:
Par la suite, pour faire l’analyse, nous devons trouver quatre autres informations qui nous informerons sur les propriétés du mouvement. Ces quatre informations sont:
- Le déplacement (∆s)
- La vitesse (v)
- La variation de vitesse (∆v)
- L’accélération (a)
- s=f(t) → Position (s) de notre mobile en fonction du temps (t).
- v=f(t) → Vitesse (v) de notre mobile en fonction du temps (t).
- a=f(t) → Accélération (a) de notre mobile en fonction du temps (t).
Dans tous les graphiques, le temps (t) est toujours en x.
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3.1 LA POSITION (s) ET LE TEMPS (t)
Reprenons l’exemple d’une voiture. Voici une série de position en fonction du temps:
Les données ci-haut sont des données théoriques, il y a de fortes chances qu'il y ait des erreurs expérimentales. |
Ici, le temps a été pris à l’aide d’un marqueur à étincelle, la précision de cet instrument de mesure était au millième de seconde, c’est pourquoi il y a trois chiffres après la virgule. La position a été prise à l’aide d’une règle 30 cm, d’une précision au millimètre près. Puisque la précision de cet instrument de mesure peut aller jusqu'au demi-millimètre, il y a quatre chiffres après la virgule, une fois le changement de centimètre à mètre fait.
Ex: 150,65cm = 1,5065m |
Plus nous prenons en note un grand nombre de positions, plus l’analyse de notre mouvement sera précise.
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Il est important de bien définir son point de référence avant de poursuivre. Ici mon point de référence est :
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À l’aide des précédentes informations, nous pouvons maintenant créer le graphique de la position (s) de notre mobile en fonction du temps (t). Plus clairement: s = f(t).
Commencez par ouvrir Excel et entrez vos données dans une table de valeurs, faites ensuite un nuage de points à partir de ces données, puis affichez la courbe de tendance, son équation ainsi que son coefficient de corrélation.
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Dans le cas d’un MRU, il est tout à fait normal que la courbe de tendance soit une droite puisque le temps ainsi que la position augmentent uniformément.
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3.2 LE DÉPLACEMENT (∆s)
Nous allons maintenant trouver le déplacement (∆s) de notre mobile. Commencer par ajouter une colonne à votre table des valeurs. Puis, pour trouver le déplacement (∆s) il suffit de faire la différence entre la position actuelle et la position précédente (∆s = s2 – s1).
À la première mesure des données, il ne peut y avoir de déplacement de la position puisque le mobile n’a pas encore fait varier sa position.
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Lors d’un calcul, le résultat ne peut être plus précis que la moins précise des données. Dans l’exemple ci-dessus, les deux données ont quatre chiffres après la virgule, il est donc normal que le résultat en ait autant. Si par contre, j’avais multiplié, divisé, additionné ou soustrait le temps par la position, le résultat aurait eu trois chiffres après la virgule.
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3.3 LA VITESSE (v)
Maintenant que nous avons trouvé le déplacement de notre mobile, nous allons trouver la vitesse instantanée de celui-ci. Deux méthodes sont possibles:
1. Taux de variation:
Cette méthode est très efficace avec le MRU puisque la vitesse moyenne est toujours équivalente à la vitesse instantanée puisqu’il n’y a aucune variation de vitesse tout au long de notre mouvement. Pour trouver la vitesse moyenne, nous devons faire le taux de variation:
2. Calcul de la dérivée à l’aide de l’équation de la courbe de tendance:
Pour calculer la vitesse instantanée d’un point avec cette méthode, il faut premièrement prendre l’équation de la courbe de tendance du graphique s=f(t).
y = 0,340x
Par la suite, il faut descendre l’exposant de la variable x (n) et le mettre en position de multiplicateur, devant le nombre qui précède la variable x.
y = 0,340xn
y = n • 0,340x
Puis, on change l’exposant de la variable x par son ancienne valeur (n) soustraite par un.
y = n • 0,340x
y = n • 0,340x(n-1)
y = n • 0,340x0
Ce qui nous donne la dérivée.
y = n • 0,340x0
y = 0,340
Avec un MRU, il est très facile de trouver la vitesse instantanée parce qu’elle équivaut exactement à la dérivée, cependant lors d’un mouvement qui a une vitesse qui augmente ou diminue uniformément, l’équation de la courbe de tendance ne sera pas une équation linéaire (y=ax+b) mais plutôt polynomiale de degré 2 (y=ax2+bx+c). Dans ce cas, la démarche sera la même, mais vous devrez remplacer la variable x de votre dérivée par la valeur du temps en lien avec la position de laquelle vous voulez avoir la vitesse instantanée.
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Ajouter maintenant une nouvelle colonne à votre table des valeurs, puis ajouter la vitesse instantanée pour chaque temps.
À l’aide des précédentes informations, nous pouvons désormais créer le graphique de la vitesse (v) de notre mobile en fonction du temps (t). Plus clairement: v = f(t).
Faites donc un deuxième nuage de points à partir de ces données puis faites afficher la courbe de tendance, son équation ainsi que son coefficient de corrélation.
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Dans le cas d’un MRU, il est tout à fait normal que la courbe de tendance soit une droite constante puisque la vitesse est constante tout au long du mouvement.
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3.4 LA VARIATION DE VITESSE (∆v)
Avec la vitesse, nous pouvons aussi trouver une nouvelle information: la variation de vitesse (∆v). Il suffit de faire la différence entre la vitesse actuelle et la vitesse précédente (∆v = v2 – v1).
Ici non plus, à la première mesure des données, il ne peut y avoir de variation de la vitesse puisque le mobile n’a pas encore fait varier sa vitesse.
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3.5 L'ACCÉLÉRATION (a)
Maintenant, il ne nous reste qu’à trouver l’accélération et à faire son graphique. Donc, pour trouver l’accélération nous n’avons qu’à diviser le déplacement (∆v) par la variation de temps (∆t = t2 - t1).
Plus clairement: a=∆v/∆t
Créons maintenant le graphique. À partir de cette nouvelle donnée, faites un troisième nuage de points de l’accélération en fonction du temps (a=f(t)) puis affichez la courbe de tendance, l’équation de cette courbe ainsi que son coefficient de corrélation.
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Dans le cas d’un MRU, il est tout à fait normal que la courbe de tendance soit nulle puisqu’il n’y a aucune accélération (la vitesse est toujours constante).
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4. L'analyse du MRU
4.1 La position en fonction du temps:
Ce graphique peut bien sûr nous apprendre une position pour un temps précis ainsi qu’un temps pour une position précise. Mais, il peut aussi, comme nous l’avons vue précédemment, nous apprendre la vitesse moyenne ou la vitesse instantanée lorsque nous utilisons la dérivée ou faisons le taux de variation.
4.2 La vitesse en fonction du temps:
Ce graphique peut bien sûr nous apprendre une vitesse pour un temps précis ainsi qu’un temps pour une vitesse précise. Mais, il peut aussi nous apprendre deux autres choses. Nous pouvons déterminer l’accélération en calculant le taux de variation. Puisque c’est une droite constante, le taux de variation sera de 0. Ainsi que le déplacement en calculant l’aire sous la courbe!
4.3 L’accélération en fonction du temps:
Ce graphique peut bien sûr nous apprendre l’accélération pour un temps précis ainsi qu’un temps pour une accélération précise. Mais, nous pouvons aussi déterminer la variation de vitesse lorsque nous calculons l’aire sous la courbe!
4.4 Voici un petit schéma qui résume le tout:
Il est très simple à comprendre :
- À partir du graphique s=f(t) si on fait le taux de variation on obtient la vitesse.
- À partir du graphique v=f(t) si on fait le taux de variation on obtient l’accélération.
- À partir du graphique a=f(t) si on fait l’aire sous la courbe on obtient la variation de vitesse.
- À partir du graphique v=f(t) si on fait l’aire sous la courbe on obtient le déplacement. Il ne sert donc à rien de faire l’aire sous la courbe du graphique s=f(t) ou le taux de variation du graphique s=f(t), car cela ne nous apprendra rien.
Finalement, voici la formule de tous les MRU: ∆s = ∆t • v Plus clairement: « Distance = Temps • Vitesse » |
Maintenant que vous avez fini de lire la théorie sur le mouvement rectiligne uniforme, il est temps de passer aux exercices. Vous pouvez en tout temps vous servir de l’aide-mémoire si vous avez un blanc.
